不定积分笔记

一、基本概念

1. 原函数

设函数 $F(x)$ 和 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义。如果对任意 $x\in I$ ，都满足：

F'(x)=f(x)

则称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的一个原函数。

例： $(x^2)'=2x$ ，所以 $F(x)=x^2$ 是 $f(x)=2x$ 的一个原函数。

性质：若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $F(x)+C$ （ $C$ 为任意常数），全部都是 $f(x)$ 的原函数。同一个函数的原函数之间只相差一个常数。

2. 不定积分定义

$f(x)$ 的全体原函数，叫做 $f(x)$ 的不定积分，记作：

\int f(x)dx = F(x)+C

$\int$ ：积分号
$f(x)$ ：被积函数
$f(x)dx$ ：被积表达式
$x$ ：积分变量
$C$ ：积分常数（千万不能丢）

几何意义：一族平行曲线（积分曲线族），在相同 $x$ 处切线斜率都等于 $f(x)$ 。

3. 微分与积分互逆关系

\left(\int f(x)dx\right)' = f(x) \\ d\left(\int f(x)dx\right) = f(x)dx \\ \int F'(x)dx = F(x)+C \\ \int dF(x) = F(x)+C

一句话总结：先积后导，抵消；先导后积，加常数C。

二、基本积分公式（必背）

\int kdx = kx + C \quad(k为常数)\\ \int x^\mu dx=\frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C\quad(\mu\neq-1)\\ \int \frac1x dx=\ln|x|+C\\ \int e^x dx=e^x + C\\ \int a^x dx=\frac{a^x}{\ln a}+C \quad(a>0,a\neq1)\\ \int \sin x dx=-\cos x + C\\ \int \cos x dx=\sin x + C\\ \int \sec^2 x dx=\tan x + C\\ \int \csc^2 x dx=-\cot x + C\\ \int \sec x\tan x dx=\sec x + C\\ \int \csc x\cot x dx=-\csc x + C\\ \int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x + C\\ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x + C

三、不定积分运算性质

设 $f(x),g(x)$ 原函数存在， $k$ 为常数：

$\int \big[f(x)\pm g(x)\big]dx=\int f(x)dx \pm \int g(x)dx$
$\int k\cdot f(x)dx = k\int f(x)dx \quad(k\neq0)$

说明：积分可以分项、提取常数系数；不能直接对乘积、分式拆分积分。 $\int f(x)g(x)dx \neq \left(\int f(x)dx\right)\cdot\left(\int g(x)dx\right)$

四、三大核心积分方法

方法1：第一类换元法（凑微分法）

适用形式：

\int f\left[\varphi(x)\right]\cdot \varphi'(x) dx=\int f(u)du=F(u)+C=F\left(\varphi(x)\right)+C

步骤：

凑微分： $\varphi'(x)dx = d\left(\varphi(x)\right)$
换元：令 $u=\varphi(x)$
对 $u$ 积分
回代，把 $u$ 换回 $\varphi(x)$

示例：

\begin{aligned} \int \cos(2x)dx &=\frac12\int \cos(2x)\cdot 2dx \\ &=\frac12\int\cos u\ du \quad(u=2x)\\ &=\frac12\sin u + C \\ &=\frac12\sin2x + C \end{aligned}

常用凑微分： $dx=\frac1a d(ax+b)$ $x dx=\frac12 d(x^2)$ $\frac1x dx=d(\ln x)$ $e^x dx=d(e^x)$ $\cos x dx=d(\sin x)$

方法2：第二类换元法（去根号为主）

\int f(x)dx \xlongequal{x=\psi(t)} \int f\left(\psi(t)\right)\psi'(t)dt

目标：去掉根式，简化积分，最后回代 $t$ 变回 $x$ 。

常见三角代换：

$\sqrt{a^2-x^2}$ ：令 $x=a\sin t$
$\sqrt{x^2+a^2}$ ：令 $x=a\tan t$
$\sqrt{x^2-a^2}$ ：令 $x=a\sec t$

注意：最后回代时一般画直角三角形快速换算三角函数。

方法3：分部积分法

公式：

\int u\ dv = uv - \int v\ du

口诀：反对幂指三。

优先级：反三角函数 > 对数函数 > 幂函数 > 指数函数 > 三角函数排在前面的选为 $u$ ，剩下部分凑成 $dv$ 。

示例： $\int x e^x dx$ $u=x,\ \ dv=e^x dx \Rightarrow du=dx,\ v=e^x$

\begin{aligned} \int x e^x dx &= xe^x-\int e^x dx \\ &=xe^x - e^x + C \end{aligned}

五、有理函数积分（简单介绍）

形如：

\int\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}dx

$P,Q$ 都是多项式。

步骤：

如果分子次数 ≥ 分母次数：多项式除法，拆成多项式 + 真分式
真分式因式分解，拆成简单分式之和
分项积分

三角函数有理式可以用万能代换 $t=\tan\frac x2$ ，但计算量大，优先考虑三角恒等变形。

六、易错点汇总

✅ 结果必须 $+C$ ！ 不定积分是一族函数，不是单个函数，漏写C直接扣分。
$\int\frac1x dx=\boldsymbol{\ln|x|+C}$ ，绝对值不要丢。
积分完成后可以求导验算，导数等于被积函数，结果才正确。
换元法最后一定要回代变量，不能保留中间变量 $u,t$ 。
分部积分选 $u$ 选错会越算越复杂，记住反对幂指三。

七、练习题（自测）

$\int (2x-\frac1x)dx$
$\int \sin(3x+1)dx$
$\int x\cos x dx$

参考答案：
$x^2-\ln|x|+C$
$-\frac13\cos(3x+1)+C$
$x\sin x+\cos x + C$

不定积分 笔记

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